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希望每个初中生都可以考上理想高中
加油 冲冲冲
数学部分
调和点列
对于下图而言，直线上的四个点B E C F，如有 ,则称这四个点成调和点列
调和点列性质一：上面写着的
性质二：AE平分∠BAC
性质三：AF是三角形的外角平分线
性质四：EA⊥FA
以上性质只要已知两个，必能证明另外两个成立
调和点列和阿波罗尼斯圆问题（阿氏圆）有很大的亲缘关系
阿氏圆的调和点列性质
取AC/BC=AP/BP=AD/BD，则易知PC平分∠APB，PD为∠APB外角平分线
易得PC垂直PD，A C B D成调和点列
具备上面条件的，即有阿氏圆存在
emmmmmmm，有的时候还是蛮有用的吧
比如说遇到隐圆问题，根据阿氏圆的定义，可以分别作∠APB内外角平分线，与AB的交点，即为AB的两个调和点，这两个造出来的调和点构成的线段，其中点即为阿氏圆圆心。
阿氏圆的话，如果有的朋友不怕麻烦，可以建系
然后根据圆的标准方程，算出所要求的点的轨迹方程。（有的时候要用到三角恒等变换）
（轨迹方程这个，，，一时半会讲不清楚，有兴趣的朋友请参见高中数学必修二）
圆的方程的应用
圆的标准方程：（x-a）²+（y-b）²=r²
这个对于算大题里的等腰/直角三角形讨论问题有奇效，直接联立圆和函数解析式求交点。
二次函数内求圆的方程和函数交点可用求导啥的
不过还是建议初一初二的朋友用，毕竟高次函数求导（或者配方成顶点式？？？）挺麻烦的。
导数相关
（导数就是一条与该函数只有一个公共点的线的斜率噢）
这里补充一下，圆的切线是一条和圆的半径垂直且与圆只有一个公共点的直线。
垂直这个性质，在函数中用不上，我们把和函数只有一个公共点的直线叫做此函数的切线
（这个概念仅针对二次函数，对于三次函数等高次函数，存在一些切线与函数有多个交点的情况）
基本概念：把x²看成2x，x³=3x²，以此类推。
把x看成1，常数看成0
比如y=ax²+bx+c，就可以得到y'=2ax+b了
这个y'=2ax+b就是y=ax²+bx+c的一阶导数啦。
（即与y=ax²+bx+c只有一个公共点的直线的斜率）
碰到高次函数求极值的时候可以用来化简吧（答主经常算出三次函数）
针对函数而言，导数的零点一般就是原函数的极值点（在初中阶段基本算不出不可导函数）
这个导数在二次函数面积最值问题里也有奇效。比如一条直线y=mx+n与y=ax²+bx+c相交，显然，平移y=mx+n，令所得直线与y=ax²+bx+c只有一个公共点时，以该公共点作为顶点的三角形取得最大值。（有m=2ax+b，然后化简即得坐标）
有的时候会有一种题，就是给你个坐标系和一个圆，求这个圆在某点的切线解析式
由圆的标准方程（x-a）²+（y-b）²=r²，对其求偏导并整理，得到y'=-（x-a）/（y-b）
（求偏导≠单纯的求导，求偏导是我在高数里学到的，这里不作介绍。
然后就得到在某一点的切线斜率啦
（这种题用求导特别舒服）
求导方法
手动添加条件：P点在正方形的BD这条对角线上
正常做法是旋转，但是我们可以用建系。
挨个把PB、PA、PC算出来（得到含参的根号代数式）
构建函数，然后暴力求导得到最值
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调和点列
对于下图而言，直线上的四个点B E C F，如有
,则称这四个点成调和点列
调和点列性质一：上面写着的
性质二：AE平分∠BAC
性质三：AF是三角形的外角平分线
性质四：EA⊥FA
以上性质只要已知两个，必能证明另外两个成立
调和点列和阿波罗尼斯圆问题（阿氏圆）有很大的亲缘关系
阿氏圆的调和点列性质
取AC/BC=AP/BP=AD/BD，则易知PC平分∠APB，PD为∠APB外角平分线
易得PC垂直PD，A C B D成调和点列
具备上面条件的，即有阿氏圆存在
emmmmmmm，有的时候还是蛮有用的吧
比如说遇到隐圆问题，根据阿氏圆的定义，可以分别作∠APB内外角平分线，与AB的交点，即为AB的两个调和点，这两个造出来的调和点构成的线段，其中点即为阿氏圆圆心。
阿氏圆的话，如果有的朋友不怕麻烦，可以建系
然后根据圆的标准方程，算出所要求的点的轨迹方程。（有的时候要用到三角恒等变换）
（轨迹方程这个，，，一时半会讲不清楚，有兴趣的朋友请参见高中数学必修二）
圆的方程的应用
圆的标准方程：（x-a）²+（y-b）²=r²
这个对于算大题里的等腰/直角三角形讨论问题有奇效，直接联立圆和函数解析式求交点。
二次函数内求圆的方程和函数交点可用求导啥的
不过还是建议初一初二的朋友用，毕竟高次函数求导（或者配方成顶点式？？？）挺麻烦的。
导数相关
（导数就是一条与该函数只有一个公共点的线的斜率噢）
这里补充一下，圆的切线是一条和圆的半径垂直且与圆只有一个公共点的直线。
垂直这个性质，在函数中用不上，我们把和函数只有一个公共点的直线叫做此函数的切线
（这个概念仅针对二次函数，对于三次函数等高次函数，存在一些切线与函数有多个交点的情况）
基本概念：把x²看成2x，x³=3x²，以此类推。
把x看成1，常数看成0
比如y=ax²+bx+c，就可以得到y'=2ax+b了
这个y'=2ax+b就是y=ax²+bx+c的一阶导数啦。
（即与y=ax²+bx+c只有一个公共点的直线的斜率）
碰到高次函数求极值的时候可以用来化简吧（答主经常算出三次函数）
针对函数而言，导数的零点一般就是原函数的极值点（在初中阶段基本算不出不可导函数）
这个导数在二次函数面积最值问题里也有奇效。比如一条直线y=mx+n与y=ax²+bx+c相交，显然，平移y=mx+n，令所得直线与y=ax²+bx+c只有一个公共点时，以该公共点作为顶点的三角形取得最大值。（有m=2ax+b，然后化简即得坐标）
有的时候会有一种题，就是给你个坐标系和一个圆，求这个圆在某点的切线解析式
由圆的标准方程（x-a）²+（y-b）²=r²，对其求偏导并整理，得到y'=-（x-a）/（y-b）
（求偏导≠单纯的求导，求偏导是我在高数里学到的，这里不作介绍。
然后就得到在某一点的切线斜率啦
（这种题用求导特别舒服）
求导方法
手动添加条件：P点在正方形的BD这条对角线上
正常做法是旋转，但是我们可以用建系。
挨个把PB、PA、PC算出来（得到含参的根号代数式）
构建函数，然后暴力求导得到最值